Question

12．在平面直角坐標系xOy中，已知點A（-1，0），B（1，0），動點C滿足條件：△ABC的周長為$2+2\sqrt{2}$，記動點C的軌跡為曲線W．
（1）求W的方程；
（2）設(shè)過點B的直線l與曲線W交于M，N兩點，如果$|{MN}|=\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)點C的坐標是C（x，y），結(jié)合$|{CA}|+|{CB}|=2\sqrt{2}＞2$，從而可得軌跡是橢圓（除去與x軸的兩個交點），從而求方程即可；
（2）易知直線l的斜率不為0，從而設(shè)直線l的方程為x=my+1，與$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$聯(lián)立化簡得（m²+2）y²+2my-1=0，結(jié)合韋達定理求解即可．

解答 解：（1）設(shè)點C的坐標是C（x，y），
∵△ABC的周長為$2+2\sqrt{2}$，|AB|=2，
∴$|{CA}|+|{CB}|=2\sqrt{2}＞2$．
∴由橢圓的定義知，動點C的軌跡是以A、B為焦點，長軸長為$2\sqrt{2}$的橢圓（除去與x軸的兩個交點）．
∴$a=\sqrt{2}$．c=1，b²=a²-c²=1，
∴曲線W的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1（y≠0）$．
（2）易知直線l的斜率不為0，
設(shè)直線l的方程為x=my+1，
與$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$聯(lián)立化簡得，
（m²+2）y²+2my-1=0，
由韋達定理得：${y_1}+{y_2}=\frac{-2m}{{{m^2}+2}}，{y_1}{y_2}=\frac{-1}{{{m^2}+2}}$，
∴$|{MN}|=\sqrt{1+{m^2}}|{{y_2}-{y_1}}|=\sqrt{1+{m^2}}•\sqrt{{{（{y_2}-{y_1}）}^2}-4{y_1}{y_2}}$
=$\sqrt{1+{m^2}}•\sqrt{{{（\frac{-2m}{{{m^2}+2}}）}^2}-4（\frac{-1}{{{m^2}+2}}）}=\frac{{2\sqrt{2}（{m^2}+1）}}{{{m^2}+2}}=\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$，
解得m=±1，
∴直線l的方程為x=±y+1，
即x+y-1=0或x-y-1=0．

點評 本題考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，主要考查了學生的化簡運算能力及轉(zhuǎn)化能力．