Question

11．已知焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的離心率為$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，且$（0，2\sqrt{2}）$是其中一個焦點(diǎn)．
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)P（-1，0）的動直線l與中心在原點(diǎn)，半徑為2的圓O交于A，B兩點(diǎn)，C是橢圓上一點(diǎn)，且$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CP}$=0，當(dāng)|$\overrightarrow{CP}$|取得最大值時，求弦AB的長度．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，c=2$\sqrt{2}$，b²=a²-c²，解出即可得出．
（2）設(shè)C（cosθ，3sinθ）（θ∈[0，2π]）．可得|CP|=$\sqrt{（cosθ+1）^{2}+9si{n}^{2}θ}$=$\sqrt{-8（cosθ-\frac{1}{8}）^{2}+\frac{81}{8}}$，利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得最大值，由于對稱性可取C$（\frac{1}{8}，\frac{9\sqrt{7}}{8}）$．求出k_CP，利用$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CP}$=0，可得k_AB=-$\frac{\sqrt{7}}{7}$．可得直線AB的方程．圓的方程為：x²+y²=4．求出圓心（0，0）到直線AB的距離d，可得|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-vqmvxsc^{2}}$．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
∵$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，c=2$\sqrt{2}$，b²=a²-c²，
解得：c=2$\sqrt{2}$，a=3，b=1．
∴該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：$\frac{{y}^{2}}{9}$+x²=1．
（2）設(shè)C（cosθ，3sinθ）（θ∈[0，2π]）．
則|CP|=$\sqrt{（cosθ+1）^{2}+9si{n}^{2}θ}$=$\sqrt{-8（cosθ-\frac{1}{8}）^{2}+\frac{81}{8}}$≤$\frac{9\sqrt{2}}{4}$，當(dāng)且僅當(dāng)cos$θ=\frac{1}{8}$，sinθ=±$\frac{3\sqrt{7}}{8}$時取等號．
由于對稱性可取C$（\frac{1}{8}，\frac{9\sqrt{7}}{8}）$．
k_CP=$\frac{\frac{9\sqrt{7}}{8}-0}{\frac{1}{8}+1}$=$\sqrt{7}$，
∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CP}$=0，
∴k_AB=-$\frac{\sqrt{7}}{7}$．
∴直線AB的方程為：y=-$\frac{\sqrt{7}}{7}$（x+1），即$x+\sqrt{7}$y+1=0．
圓的方程為：x²+y²=4．
∴圓心（0，0）到直線AB的距離d=$\frac{1}{\sqrt{8}}$，
∴|AB|=2$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{1}{\sqrt{8}}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{62}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與圓相交弦長問題、點(diǎn)到直線的距離公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．