【題目】已知函數(shù)f(x)=2sinx-xcosx-x,f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).
(1)證明:f′(x)在區(qū)間(0,π)存在唯一零點(diǎn);
(2)若x∈[0,π]時(shí),f(x)≥ax,求a的取值范圍.
【答案】(1)見(jiàn)解析;
(2).
【解析】
(1)求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)后,設(shè)為進(jìn)行再次求導(dǎo),可判斷出當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,從而得到單調(diào)性,由零點(diǎn)存在定理可判斷出唯一零點(diǎn)所處的位置,證得結(jié)論;(2)構(gòu)造函數(shù),通過(guò)二次求導(dǎo)可判斷出,;分別在,,和的情況下根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷單調(diào)性,從而確定恒成立時(shí)的取值范圍.
(1)
令,則
當(dāng)時(shí),令,解得:
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),
在上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減
又,,
即當(dāng)時(shí),,此時(shí)無(wú)零點(diǎn),即無(wú)零點(diǎn)
,使得
又在上單調(diào)遞減 為,即在上的唯一零點(diǎn)
綜上所述:在區(qū)間存在唯一零點(diǎn)
(2)若時(shí),,即恒成立
令
由(1)可知,在上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減
且,,
,
①當(dāng)時(shí),,即在上恒成立
在上單調(diào)遞增
,即,此時(shí)恒成立
②當(dāng)時(shí),,,
,使得
在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減
又,
在上恒成立,即恒成立
③當(dāng)時(shí),,
,使得
在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增
時(shí),,可知不恒成立
④當(dāng)時(shí),
在上單調(diào)遞減
可知不恒成立
綜上所述:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】四色猜想是世界三大數(shù)學(xué)猜想之一,1976年數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯證明,稱(chēng)為四色定理.其內(nèi)容是:“任意一張平面地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國(guó)家涂上不同的顏色.”用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示為“將平面任意地細(xì)分為不相重疊的區(qū)域,每一個(gè)區(qū)域總可以用,,,四個(gè)數(shù)字之一標(biāo)記,而不會(huì)使相鄰的兩個(gè)區(qū)域得到相同的數(shù)字.”如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為,粗實(shí)線圍城的各區(qū)域上分別標(biāo)有數(shù)字,,,的四色地圖符合四色定理,區(qū)域和區(qū)域標(biāo)記的數(shù)字丟失.若在該四色地圖上隨機(jī)取一點(diǎn),則恰好取在標(biāo)記為的區(qū)域的概率所有可能值中,最大的是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】關(guān)于函數(shù),.有下列命題:
①對(duì),恒有成立.
②,使得成立.
③“若,則有且.”的否命題.
④“若且,則有.”的逆否命題.
其中,真命題有_____________.(只需填序號(hào))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】據(jù)史載知,新華網(wǎng):北京2008年11月9日電,國(guó)務(wù)院總理溫家寶主持召開(kāi)國(guó)務(wù)院常務(wù)會(huì)議,研究部署進(jìn)一步擴(kuò)大內(nèi)需促進(jìn)經(jīng)濟(jì)平穩(wěn)較快增長(zhǎng)的措施,以應(yīng)對(duì)日趨嚴(yán)峻的全球性世界經(jīng)濟(jì)金融危機(jī).在提高城鄉(xiāng)居民特別是低收入人群的收入水平政策措施的刺激下,某零售店當(dāng)時(shí)近5個(gè)月的銷(xiāo)售額和利潤(rùn)額數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表:
月份 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
銷(xiāo)售額/千萬(wàn)元 | 3 | 5 | 6 | 7 | 9 |
利潤(rùn)額/千萬(wàn)元 | 2 | 3 | 3 | 4 | 5 |
(1)若與之間是線性相關(guān)關(guān)系,求利潤(rùn)額關(guān)于銷(xiāo)售額的線性回歸方程;
(2)若9月份的銷(xiāo)售額為8千萬(wàn)元,試?yán)茫?/span>1)的結(jié)論估計(jì)該零售店9月份的利潤(rùn)額.
參考公式:,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分別是BC,BB1,A1D的中點(diǎn).
(1)證明:MN∥平面C1DE;
(2)求點(diǎn)C到平面C1DE的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】古希臘時(shí)期,人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是(≈0.618,稱(chēng)為黃金分割比例),著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外,最美人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是.若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例,且腿長(zhǎng)為105cm,頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為26 cm,則其身高可能是
A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190cm
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,,.
(1)若,求的值;
(2)當(dāng),,且有最小值時(shí),求的值;
(3)當(dāng),時(shí),有恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某行業(yè)主管部門(mén)為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況,隨機(jī)調(diào)查了100個(gè)企業(yè),得到這些企業(yè)第一季度相對(duì)于前一年第一季度產(chǎn)值增長(zhǎng)率y的頻數(shù)分布表.
的分組 | |||||
企業(yè)數(shù) | 2 | 24 | 53 | 14 | 7 |
(1)分別估計(jì)這類(lèi)企業(yè)中產(chǎn)值增長(zhǎng)率不低于40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負(fù)增長(zhǎng)的企業(yè)比例;
(2)求這類(lèi)企業(yè)產(chǎn)值增長(zhǎng)率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表).(精確到0.01)
附:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時(shí),記在區(qū)間的最大值為,最小值為,求的取值范圍.
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