Question

【題目】已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn ， 且滿足a1=1，an+1=2 +1，n∈N* ．
（1）求a2的值；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）是否存在正整數(shù)k，使ak ， S2k﹣1 ， a4k成等比數(shù)列？若存在，求k的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)閍1=1，an+1=2 +1，

所以a2=2 +1=2+1=3

（2）解：由an+1=2 +1得， ，

所以當(dāng)n≥2時(shí)， ，

兩個(gè)式子相減得，4an=（an+1+an﹣2）（an+1﹣an），

化簡(jiǎn)得，（an+1﹣an﹣2）（an+1+an）=0，

因?yàn)閿?shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，

所以an+1﹣an﹣2=0，即an+1﹣an=2，

所以數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列，

則an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1

（3）解：假設(shè)存在正整數(shù)k使ak，S2k﹣1，a4k成等比數(shù)列，

則 ，

所以 =（2k﹣1）（8k﹣1），

（2k﹣1）3=8k﹣1，化簡(jiǎn)得4k2﹣6k﹣1=0，

解得 ， ，

因?yàn)閗是正整數(shù)，所以不存在正整數(shù)k滿足條件

【解析】（1）將n=1代入式子即可求解；（2）由an+1=2 +1得 ，令n取n﹣1代入上式可得 ，兩個(gè)式子相減后進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用等差數(shù)列的定義判斷，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出an；（3）先假設(shè)存在正整數(shù)k滿足條件，利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、通項(xiàng)公式列出方程，化簡(jiǎn)后求出k的值，再由k是正整數(shù)進(jìn)行判斷．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等比關(guān)系的確定的相關(guān)知識(shí)，掌握等比數(shù)列可以通過(guò)定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)公式法、前n項(xiàng)和法進(jìn)行判斷，以及對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式的理解，了解如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．