【題目】已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P在橢圓O上運(yùn)動(dòng)，若△PAB面積的最大值為，橢圓O的離心率為．

(1)求橢圓O的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過B點(diǎn)作圓E：的兩條切線，分別與橢圓O交于兩點(diǎn)C，D(異于點(diǎn)B)，當(dāng)r變化時(shí)，直線CD是否恒過某定點(diǎn)?若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）（2）直線恒過定點(diǎn).

【解析】

（1）根據(jù)已知條件列方程組，解方程組可得.

（2）設(shè)過B的切線方程，由d=r，利用韋達(dá)定理得兩切線PC、PD的斜率、關(guān)系，把直線、代入橢圓方程求出C、D點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)式建立CD方程，化簡(jiǎn)方程可得.

（1）由題可知當(dāng)點(diǎn)在橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，最大，此時(shí)，

所以，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.

（2）設(shè)過點(diǎn)與圓相切的直線方程為：，即：，

因?yàn)橹本�與圓：相切，所以，

即得.

設(shè)兩切線的斜率分別為，則，

設(shè)，，

由，

∴，即，∴；

同理：，；

∴，

所以直線的方程為：.

整理得：，

所以直線恒過定點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的離心率為，且過點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，過點(diǎn)的直線交橢圓交于，兩點(diǎn)．

①若直線的斜率為，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

②設(shè)直線，，的斜率分別為，，，是否存在定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：過點(diǎn)與點(diǎn).

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)直線過定點(diǎn)，且斜率為，若橢圓上存在，兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的取值范圍及面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，給出下列命題，其中正確命題的個(gè)數(shù)為

①當(dāng)時(shí)，上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí)，存在不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)，使；

③當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)．

A. 3B. 2C. 1D. 0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，設(shè)橢圓1的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過焦點(diǎn)F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若△ABF2的內(nèi)切圓的面積為4，設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x1，y1），B（x2，y2），則|y1﹣y2|值為_____．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）若函數(shù)與函數(shù)在點(diǎn)處有共同的切線，求的值；

（2）證明：；

（3）若不等式對(duì)所有，都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】己知p：函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，f（m2）＜f（m+2）成立；q：方程1（m∈R）表示雙曲線．

（1）若p為真命題，求m的取值范圍；

（2）若p∨q為真，p∧q為假，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在直三棱柱中，，，，，分別是，的中點(diǎn).

（1）求證：平面平面；

（2）求證：平面；

（3）求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知正方形的邊長(zhǎng)為，將沿對(duì)角線折起，使平面平面，得到如圖所示的三棱錐，若為邊的中點(diǎn)，分別為上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），且，設(shè)，則三棱錐的體積取得最大值時(shí)，三棱錐的內(nèi)切球的半徑為_______.

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