Question

13．定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=f（-x），當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{2}$]時，f（x）=log₂（x+1），則f（x）在區(qū)間（-1，-$\frac{1}{2}$）內(nèi)是（　　）

• A． 減函數(shù)且f（x）＜0
• B． 減函數(shù)且f（x）＞0
• C． 增函數(shù)且f（x）0
• D． 增函數(shù)且f（x）＜0

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性和對稱性，與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行判斷即可．

解答 解：∵定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=f（-x），
∴f（x+1）=f（-x）=-f（x），
則f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
則函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)，
∵f（0）=0，當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{2}$]時，f（x）=log₂（x+1）為增函數(shù)，且此時f（x）＞0
∴函數(shù)在x∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）上f（x）為增函數(shù)，
當(dāng)x∈（-$\frac{1}{2}$，0）時，f（x）＜0，
∵f（x+1）=f（-x），
∴函數(shù)關(guān)于x=$\frac{1}{2}$對稱，
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴函數(shù)關(guān)于x=-$\frac{1}{2}$對稱，
則f（x）在區(qū)間（-1，-$\frac{1}{2}$）上是減函數(shù)，且f（x）＜0，
故選：A

點(diǎn)評 本題主要考查抽象函數(shù)的性質(zhì)的考查，利用函數(shù)的奇偶性，判斷函數(shù)的周期性，對稱性和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．