Question

3．已知S_n為公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且a₁=1，S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知，得${S_2}^2={S_1}•{S_4}$，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出首項(xiàng)和公差，由此能求出a_n．
（Ⅱ）${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，由此利用裂項(xiàng)法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)．

解答 解：（Ⅰ）∵S_n為公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且a₁=1，S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列，
∴由已知，得${S_2}^2={S_1}•{S_4}$，
即${a_1}（4{a_1}+6d）={（2{a_1}+d）^2}$，
整理得 $2{a_1}d={d^2}$，
又由a₁=1，d≠0，解得d=2，
故a_n=1+（n-1）×2=2n-1．n∈N^*．
（Ⅱ）∵${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，a_n=2n-1，
∴${b_n}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和：
$\begin{array}{l}{T_n}=\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+…+\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}\end{array}$
=$\frac{1}{2}[{（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）}]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{n}{2n+1}$，n∈N^*．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．