Question

8．已知a＞0，函數(shù)f（x）=lg（a•2^x一a+4）在區(qū)間（-1，+∞）上有意義．
（1）求a的取值范圍；
（2）解關(guān)于x的不等式；x²-（a²+a-2）x+a（a²-2）＜0．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義可知，a•2^x-a+4＞0在區(qū)間（-1，+∞）恒成立，分離參數(shù)，求出a的取值范圍即可，
（2）關(guān)鍵是分類討論，根據(jù)題目的要求仔細(xì)分類，解不等式即可．

解答 解：（1）f（x）=lg（a•2^x-a+4）在區(qū)間（-1，+∞）上有意義，
則a•2^x-a+4＞0在區(qū)間（-1，+∞）恒成立，
∴a（2^x-1）＞-4，
當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，a＜$\frac{4}{1{-2}^{x}}$，
∵$\frac{4}{1{-2}^{x}}$＞8，∴a≤8，而a＞0，
∴0＜a≤8；
當(dāng)x＞0時(shí)，a＞$\frac{4}{1{-2}^{x}}$，
∵$\frac{4}{1{-2}^{x}}$＜0，
∴a≥0，又a＞0，
∴a＞0；
當(dāng)x=0時(shí)，a∈R，
綜上所述a的取值范圍為（0，8]；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，x²-（-2+a+a²）x+a³-2a＜0，
即[x-（a²-2）]（x-a）＜0，
當(dāng)a²-2＞a時(shí)，即a＞2時(shí)，解得a＜x＜a²-2，
當(dāng)a²-2＜a時(shí)，即0＜a＜2時(shí)，解得a²-2＜x＜a，
當(dāng)a²-2=a時(shí)，即a=2時(shí)，無解，
綜上所述：當(dāng)a＞2時(shí)，解集為（a，a²-2），
當(dāng)a=2時(shí)，解集為∅，
當(dāng)0＜a＜2時(shí)，解集為（a²-2，a）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查不等式的解法，正確分類是關(guān)鍵，屬于中檔題．