Question

16．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ-4sinθ．以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=-1+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（1）判斷直線l與曲線C的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若直線l和曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）把曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，可得圓心、半徑，由于直線l過點(diǎn)（1，-1），求出該點(diǎn)到圓心的距離，與半徑半徑即可判斷出位置關(guān)系；
（2）把參數(shù)方程分別化為普通方程，聯(lián)立方程得到關(guān)于x的一元二次方程，利用兩點(diǎn)間的距離公式即可得出．

解答 解：（1）∵曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ-4sinθ，
∴ρ²=2ρcosθ-4ρsinθ，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=2x-4y，即（x-1）²+（y+2）²=5，
∵直線l過點(diǎn)（1，-1），且該點(diǎn)到圓心的距離為$\sqrt{（1-1）^{2}+（-1+2）^{2}}$＜$\sqrt{5}$，
∴直線l與曲線C相交．
（2）依題意得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=2x-4y}\\{x-y-2=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-1}\\{{y}_{2}=-3}\end{array}\right.$，
則|AB|=$\sqrt{（-1-2）^{2}+（-3-0）^{2}}$=3$\sqrt{2}$．即|AB|=3$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、弦長(zhǎng)公式、直線與曲線相交問題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．