Question

5．已知F是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的右焦點(diǎn)，若以F為圓心的圓C：x²+y²-4x+3=0與雙曲線的漸近線相切，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1．

Answer 1

分析 求得圓C的圓心和半徑，可得c=2，即a²+b²=4，求出雙曲線的漸近線方程，運(yùn)用直線和圓相切的條件：d=r，解得b=1，a=$\sqrt{3}$，即可得到雙曲線的方程．

解答 解：圓C：x²+y²-4x+3=0的圓心為（2，0），半徑為1，
即有F（2，0），即c=2，即a²+b²=4，
雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
由直線和圓相切的條件，可得：
$\frac{2b}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=1，解得b=1，a=$\sqrt{3}$，
可得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運(yùn)用直線和圓相切的條件：d=r，同時考查雙曲線的漸近線方程的運(yùn)用，屬于中檔題．