Question

有以下敘述：
①半徑為1的圓中，60°的圓心角所對的弧的長度為

π

3

；
②已知函數(shù)f（x）=

1+x2

1-x2

（x≠±1），則f（2）+f（3）+f（4）+f（

1

2

）+f（

1

3

）+f（

1

4

）=3；
③函數(shù)y=-tan（2x-

3π

4

）的單調遞減區(qū)間是（

kπ

2

+

π

8

，

kπ

2

+

5π

8

），k∈Z；
④設集合A=[0，

1

2

），B=[

1

2

，1]，函數(shù)f（x）=

x+ 1 2 (x∈A) -2x+2 (x∈B)

．若x0∈A，且f[f（x₀）]∈A，則x₀的取值范圍是（

1

4

，

1

2

）．
其中所有正確敘述的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質,集合

分析：對四個命題逐一驗證，②f（x）+f（

1

x

）=0；④分段函數(shù)要注意自變量的取值范圍．

解答： 解：①弧長公式l=rα，由r=1，α=60°=

π

3

，則l=

π

3

；故正確．
②∵f（x）=

1+x2

1-x2

，∴f（

1

x

）=-

1+x2

1-x2

，則f（x）+f（

1

x

）=0，則f（2）+f（3）+f（4）+f（

1

2

）+f（

1

3

）+f（

1

4

）=0；故結論不正確；
③∵kπ-

π

2

＜2x-

3π

4

＜kπ+

π

2

，
∴kπ+

π

4

＜2x＜kπ+

5π

4

，
∴

kπ

2

+

π

8

＜x＜

kπ

2

+

5π

8

，
∴函數(shù)y=-tan（2x-

3π

4

）的單調遞減區(qū)間是（

kπ

2

+

π

8

，

kπ

2

+

5π

8

），k∈Z；故正確；
④∵x0∈A=[0，

1

2

），
∴f（x₀）=x₀+

1

2

≥

1

2

；
∴f[f（x₀）]=-2x₀+1，
則0≤-2x₀+1＜

1

2

，
則

1

4

＜x₀≤

1

2

，
∴

1

4

＜x₀＜

1

2

，
則x₀的取值范圍是（

1

4

，

1

2

）．故正確．
故選①③④．

點評：本題考查比較全面，屬于較基礎題．