Question

16．已知|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=4，$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為120°，則使向量$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$與k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的夾角是銳角的實(shí)數(shù)k的取值范圍是（$\frac{5-\sqrt{21}}{2}$，1）∪（1，$\frac{5+\sqrt{21}}{2}$）．

Answer 1

分析 利用數(shù)量積大于零解出k的范圍，去掉共線的特殊情況．

解答 解：$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2×4×cos120°=-4．
∴（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$）•（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=k${\overrightarrow{a}}^{2}$+k${\overrightarrow}^{2}$+（k²+1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=-4k²+20k-4．
∵向量$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$與k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的夾角是銳角，∴-4k²+20k-4＞0．解得$\frac{5-\sqrt{21}}{2}$＜k＜$\frac{5+\sqrt{21}}{2}$．
若向量$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$與k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$方向相同，則$\frac{1}{k}=k＞0$，則k=1．
k的取值范圍是（$\frac{5-\sqrt{21}}{2}$，1）∪（1，$\frac{5+\sqrt{21}}{2}$）．
故答案為（$\frac{5-\sqrt{21}}{2}$，1）∪（1，$\frac{5+\sqrt{21}}{2}$）．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的數(shù)量積及夾角計算，要特別考慮共線的特殊情況．