Question

【題目】如圖，矩形ABCD是某小區(qū)戶外活動(dòng)空地的平面示意圖，其中AB＝50米，AD＝100米，現(xiàn)擬在直角三角形OMN內(nèi)栽植草坪供兒童踢球娛樂（其中，點(diǎn)O為AD的中點(diǎn)，OM⊥ON，點(diǎn)M在AB上，點(diǎn)N在CD上），將破舊的道路AM重新鋪設(shè)．已知草坪成本為每平方米20元，新道路AM成本為每米500元，設(shè)∠OMA＝θ，記草坪栽植與新道路鋪設(shè)所需的總費(fèi)用為f(θ)．

（1）求f(θ)關(guān)于θ函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；

（2）為節(jié)約投入成本，當(dāng)tanθ為何值時(shí)，總費(fèi)用 f(θ)最小？

Answer 1

【答案】（1）f(θ)＝，其定義域?yàn)?/span>；（2）

【解析】試題分析：（1）在RtOAM中，解出，在RtODN中求出ON＝，故可得，由題意當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B重合時(shí)，θ取最小值；當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)C重合時(shí)，θ取最大值，即，故可得最后結(jié)果；（2）由（1）可得，對其求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性得其最值.

試題解析：（1）據(jù)題意，在RtOAM中，OA＝50，∠OMA＝θ，所以AM＝，OM＝，據(jù)平面幾何知識可知∠DON＝θ，在RtODN中，OD＝50，∠DON＝θ，所以ON＝，所以f(θ)＝＝＝ ，據(jù)題意，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B重合時(shí)，θ取最小值；當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)C重合時(shí)，θ取最大值，所以，所以f(θ)＝，其定義域?yàn)?/span>．

（2）由（1）可知，f(θ)＝， ， ＝＝＝，

令＝0，得，其中，列表：

θ
		↘	極小值	↗

所以當(dāng)時(shí)，總費(fèi)用 f(θ)取最小值，可節(jié)約投入成本．