Question

13．將函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，$-\frac{π}{2}≤φ＜\frac{π}{2}$）圖象上每一點的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，縱坐標(biāo)不變，再向右平移$\frac{π}{6}$個單位長度得到y(tǒng)=sinx的圖象．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）當(dāng)x∈[0，3π]時，方程f（x）=m有唯一實數(shù)根，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論．
（2）由正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求出．
（3）當(dāng)x∈[0，3π]，令t=$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{3}$]，由題意可得g（t）=sint 的圖象和直線y=m有唯一的交點，結(jié)合圖象可得m的范圍．

解答 解：（1）由題意可得，把y=sinx的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位長度得到y(tǒng)=sin（x+$\frac{π}{6}$）的圖象；
再把所得圖象上每一點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變，可得y=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$）的圖象，
故f（x）=sin（ωx+φ）=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$x）x+），求得ω=$\frac{1}{2}$，φ=$\frac{π}{6}$，即f（x）=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$）．
（2）由（1）知f（x）=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$），
所以$-\frac{π}{2}$+2kπ≤$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
即-$\frac{4π}{3}$+4kπ≤x≤$\frac{2π}{3}$+4kπ，k∈Z，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[-$\frac{4π}{3}$+4kπ，$\frac{2π}{3}$+4kπ]，k∈Z．
（3）當(dāng)x∈[0，3π]時，$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{3}$]，sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，1]．
令t=$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{3}$]，
方程f（x）=m有唯一實數(shù)根，即函數(shù)f（x）=g（t）=sint 的圖象和直線y=m有唯一的交點．
結(jié)合圖象可得，當(dāng)-0.5＜m＜0.5時，g（t）=sint 的圖象和直線y=m有唯一的交點，
故m的范圍為：-0.5＜m＜0.5，或m=1，或 m=-1

點評 本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的定義域和值域，方程根的存在性以及個數(shù)判斷，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．