Question

19．偶函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分圖象如圖所示，其中△EFG是斜邊為4的等腰直角三角形（E、F是函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)G在圖象上），則f（1）的值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用函數(shù)的圖象，由已知及兩點(diǎn)間距離公式，勾股定理求出A，再求出函數(shù)的周期，確定ω，利用點(diǎn)（-2，0）在函數(shù)圖象上，求出φ，得到函數(shù)的解析式，即可求解f（1）的值．

解答 解：因?yàn)椤鱁FG是斜邊為4的等腰直角三角形（E、F是函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)G在圖象上），
所以|EF|=4，
因?yàn)椋篍（-6，0），F(xiàn)（-2，0），由題意可設(shè)G（0，y），利用勾股定理得：2$\sqrt{{y}^{2}+4}$=4²，解得：y=±2，即G點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-2，可得A=2，
因?yàn)門(mén)=$\frac{2π}{ω}$=2×4，所以ω=$\frac{π}{4}$，
因?yàn)辄c(diǎn)（-2，0）在函數(shù)圖象上，可得：0=Asin（-2×$\frac{π}{4}$+φ），
所以：-2×$\frac{π}{4}$+φ=kπ，k∈Z，又0＜φ＜π，所以解得：φ=$\frac{π}{2}$，
可得函數(shù)的解析式為：f（x）=2sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{2}$）=2cos$\frac{π}{4}$x，
所以f（1）=2cos$\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的解析式的求法，函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，考查學(xué)生識(shí)圖能力、計(jì)算能力，屬于中檔題．