Question

8．已知定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x），對于任意x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y）-1．
（1）求f（1）的值；
（2）當x＞1，都有f（x）≥1成立，證明f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)；
（3）在（2）的條件下，解不等式f（x）＜f（$\frac{1}{x}$）．

Answer 1

分析 （1）令x=y=1，代入f（x•y）=f（x）+f（y）-1，即可得到f（1）的方程，解之即可求得f（1）．
（2）設x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，利用定義法證明f（x₁）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$•x₂）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）+f（x₂）-1＞f（x₂），進而由定義得出函數(shù)的單調(diào)性．
（3）由（2）（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，原不等式可轉(zhuǎn)化為0＜x＜$\frac{1}{x}$，解關于x的不等式，可求．

解答 （1）解；（1）∵對任意x，y∈（0，+∞），都有f（x•y）=f（x）+f（y）-1．
令x=y=1可得f（1）=2f（1）-1．
∴f（1）=1．
（2）證明：設x₁＞x₂＞0，則$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞1，
∵當x＞1時f（x）≥1．
∴f（x₁）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$•x₂）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）+f（x₂）-1＞f（x₂）．
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
（3）解：∵f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，f（x）＜f（$\frac{1}{x}$），
∴0＜x＜$\frac{1}{x}$，
∴0＜x＜1，即不等式的解集為{x|0＜x＜1}．

點評 本題考點是抽象函數(shù)及其應用，考查靈活賦值求值的能力以及靈活變形證明函數(shù)單調(diào)性的能力．