Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=（x-1）²e^x．
（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，求出其在x=0處的斜率，從而求出切線方程；（2）解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值．

解答 解：（1）∵f（0）=1，∴切點(diǎn)為（0，1），
∵f′（x）=2（x-1）e^x+（x-1）²e^x
=e^x（x²-1），
∴f′（0）=-1，
∴切線方程是y-1=-x，即：x+y-1=0；
（2）由f′（x）=e^x（x²-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜1，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）單調(diào)遞增，在（-1，1）單調(diào)遞減，
∴f（x）_極大值=f（-1）=$\frac{2}{e}$，f（x）_極小值=f（1）=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．