Question

16．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²-a²x+1（a位常數(shù)，且a＞0）有極大值9．
（1）求a的值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，m+1]上單調(diào)遞增，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出當(dāng)x=-a時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值9，進(jìn)而求出a的值；
（Ⅱ）先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，m+1]上單調(diào)遞增，得到不等式組，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=3x²+2ax-a²=（x+a）（3x-a），
令f′（x）=0，則x=-a或$x=\frac{a}{3}$，
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x）與f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-a）	-a	$（-a，\frac{a}{3}）$	$\frac{a}{3}$	（$（\frac{a}{3}，+∞）$
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以當(dāng)x=-a時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值9，
即f（-a）=-a³+a³+a³+1=9，
所以a=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：函數(shù)f（x）在（-∞，-2]，$[\frac{2}{3}，+∞）$上單調(diào)遞增；
在$[-2，\frac{2}{3}]$上單調(diào)遞減；
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在區(qū)間[m，m+1]上單調(diào)遞增
所以m+1≤-2或$m≥\frac{2}{3}$，
解得：m≤-3或$m≥\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．