Question

5．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥面ABC，∠BAC=120°，且AB=AC=AP，M為PB的中點，N在BC上，且BN=$\frac{1}{3}$BC
（1）求證：MN⊥AB
（2）求二面角P-AN-M的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以A為原點，AN為x軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，可得$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{MN}$的坐標，證數(shù)量積為0即可；
（2）平面PAN的法向量可取為$\overrightarrow{AC}$=（0，1，0），待定系數(shù)可得平面AMN的法向量$\overrightarrow{n}$，計算向量的夾角余弦值即可得到二面角P-AN-M的余弦值．

解答 解：（1）由題意可得∠BAN=30°，∴∠NAC=120°-30°=90°，
以A為原點，AN為x軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，
可得A（0，0，0），B（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），M（$\frac{\sqrt{3}}{4}$，-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$），N（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0，0），
∴$\overrightarrow{AB}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{MN}$=（$\frac{\sqrt{3}}{12}$，$\frac{1}{4}$，$-\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{MN}$=0，∴MN⊥AB
（2）由（1）知P（0，0，1），C（0，1，0），
$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{\sqrt{3}}{4}$，-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{AN}$=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0，0），
平面PAN的法向量可取為$\overrightarrow{AC}$=（0，1，0），
設(shè)平面AMN的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=\frac{\sqrt{3}}{4}x-\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AN}=\frac{\sqrt{3}}{3}x=0}\end{array}\right.$，故可取量$\overrightarrow{n}$=（0，2，1），
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
∴二面角P-AN-M的余弦值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

點評 本題考查空間向量法解決立體幾何問題，涉及二面角的求解，屬中檔題．