Question

13．高考復(fù)習(xí)經(jīng)過二輪“見多識(shí)廣”之后，為了研究考前“限時(shí)搶分”強(qiáng)化訓(xùn)練次數(shù)x與答題正確率y%的關(guān)系，對(duì)某校高三某班學(xué)生進(jìn)行了關(guān)注統(tǒng)計(jì)，得到如下數(shù)據(jù)：

x	1	2	3	4
y	20	30	50	60

（Ⅰ）求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)答題正確率是100%的強(qiáng)化訓(xùn)練次數(shù)；
（Ⅱ）若用$\frac{y_i}{{{x_i}+3}}$（i=1，2，3，4）表示統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的“強(qiáng)化均值”（精確到整數(shù)），若“強(qiáng)化均值”的標(biāo)準(zhǔn)差在區(qū)間[0，2）內(nèi)，則強(qiáng)化訓(xùn)練有效，請(qǐng)問這個(gè)班的強(qiáng)化訓(xùn)練是否有效？
附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\bar x）（{y_i}-\bar y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\bar x）}^2}}}}$，$\hat a=\bar y-\hat b\bar x$．
樣本數(shù)據(jù)x₁，x₂，…，x_n的標(biāo)準(zhǔn)差為：s=$\sqrt{\frac{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\bar x）}^2}}}}{n}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知條件求出樣本中心，回歸直線方程的幾何量，即可求y關(guān)于x的線性回歸方程，然后預(yù)測(cè)答題正確率是100%的強(qiáng)化訓(xùn)練次數(shù)；
（Ⅱ）求出這四組數(shù)據(jù)的“強(qiáng)化均值”分別是5，6，8，9，求解方差，判斷結(jié)果即可．

解答 解：（Ⅰ）由所給數(shù)據(jù)計(jì)算得$\overline{x}$=$\frac{1+2+3+4}{4}$=2.5，$\overline{y}$=$\frac{20+30+50+60}{4}=40$，
$\sum _{i=1}^{4}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）$=70，$\sum _{i=1}^{4}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}=5$，
$\widehat=\frac{\sum _{i=1}^{4}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum _{i=1}^{4}{（{x}_{i}-\overline{x}）}^{2}}=14$，$\widehat{a}=y-\widehat\overline{x}$=5，
所求回歸方程是$\hat{y}=14x+5$，
由100=14x+5，得x=6.79，…（6分）
預(yù)測(cè)答題正確率是100%的測(cè)強(qiáng)化訓(xùn)練次數(shù)為7次；
（Ⅱ）經(jīng)計(jì)算知，這四組數(shù)據(jù)的“強(qiáng)化均值”分別是5，6，8，9，
平均數(shù)是7，“強(qiáng)化均值”的標(biāo)準(zhǔn)差是
s=$\sqrt{\frac{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\bar x）}^2}}}}{n}}$=$\sqrt{\frac{（5-7）^{2}+（{6-7）}^{2}+（8-7）^{2}+（9-7）^{2}}{4}}$=$\sqrt{2.5}＜2$，
這個(gè)班的強(qiáng)化訓(xùn)練有效．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查回歸直線方程的求法，方差的求法，考查計(jì)算能力．