Question

15．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的焦距為4，設(shè)右焦點(diǎn)為F，過原點(diǎn)O的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AF的中點(diǎn)為M，線段BF的中點(diǎn)為N，且$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-$\frac{1}{4}$．
（Ⅰ） 若離心率e=$\frac{1}{2}$，求橢圓C的方程；
（Ⅱ） 求橢圓C的長軸長的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的焦距為4，離心率e=$\frac{1}{2}$，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)$A（{x_0}，{y_0}），則B（-{x_0}，-{y_0}），M（\frac{{{x_0}+2}}{2}，\frac{y_0}{2}），N（\frac{{2-{x_0}}}{2}，\frac{{-{y_0}}}{2}）$，推導(dǎo)出$x_0^2+y_0^2=5$，設(shè)l方程為y=kx，和橢圓方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{{{a^2}-4}}=1$聯(lián)立，得到${{x}_{0}}^{2}∈[0，{a}^{2}]$，由此能求出長軸長的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的焦距為4，離心率e=$\frac{1}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2c=4}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=4，c=2，b=$\sqrt{16-4}$=2$\sqrt{3}$．
∴橢圓C的方程$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$．
（2）∵右焦點(diǎn)為F（2，0），過原點(diǎn)O的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，
線段AF的中點(diǎn)為M，線段BF的中點(diǎn)為N，且$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-$\frac{1}{4}$．
∴設(shè)$A（{x_0}，{y_0}），則B（-{x_0}，-{y_0}），M（\frac{{{x_0}+2}}{2}，\frac{y_0}{2}），N（\frac{{2-{x_0}}}{2}，\frac{{-{y_0}}}{2}）$，
$O\vec M•O\vec N=1-\frac{1}{4}（x_0^2+y_0^2）=-\frac{1}{4}$，則$x_0^2+y_0^2=5$，
設(shè)l方程為y=kx，和橢圓方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{{{a^2}-4}}=1$聯(lián)立，
消元整理得${x_0}^2=\frac{{{a^2}（{a^2}-4）}}{{{a^2}+{a^2}{k^2}-4}}∈[{0，{a^2}}]$，
∴當(dāng)${{x}_{0}}^{2}$=0時，${{y}_{0}}^{2}$=5，a²-4=5，解得a=3；當(dāng)${{x}_{0}}^{2}=5$時，${{y}_{0}}^{2}=0$，a=$\sqrt{5}$．
∴長軸長的取值范圍是$[{2\sqrt{5}，6}]$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法，考查橢圓的長軸長的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．