Question

已知橢圓

x2

4

+

y2

2

=1上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）且x₁+x₂=2
（1）求證：PQ的垂直平分線過一定點(diǎn)A；
（2）設(shè)A關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為B，求PB的最小值并求P的相應(yīng)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計(jì)算題,證明題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）運(yùn)用點(diǎn)差法，結(jié)合直線的斜率公式，以及兩直線的垂直條件，求出垂直平分線的方程，即可判斷；
（2）設(shè)出橢圓的參數(shù)方程，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，結(jié)合三角函數(shù)的平方關(guān)系，化簡(jiǎn)整理，配方即可得到最小值和P的坐標(biāo)．

解答： （1）證明：由題意，得，

x12

4

+

y12

2

=1，

x22

4

+

y22

2

=1，
兩式相減得，

(x1-x2)(x1+x2)

4

+

(y1-y2)(y1+y2)

2

=0，
由于x₁+x₂=2，令PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，y₀），
則有k_PQ=

y1-y2

x1-x2

=-

x1+x2

y1+y2

=-

1

2

•

2

2y0

=-

1

2y0

，
則PQ的垂直平分線為：y-y₀=2y₀（x-1），
即有y=y₀（2x-1），可令2x-1=0，且y=0，
則有PQ的垂直平分線恒過定點(diǎn)A（

1

2

，0）；
（2）A關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為B（-

1

2

，0），
設(shè)橢圓上P（2cosα，

2

sinα），
則|PB|=

(2cosα+ 1 2 )2+2sin2α

=

2cos2α+2cosα+ 9 4

=

2(cosα+ 1 2 )2+ 7 4

，
則當(dāng)cosα=-

1

2

，即sinα=±

3

2

，則有|PB|取得最小值，且為

7

2

．
此時(shí)P（-1，±

6

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)差法解決弦的中點(diǎn)問題，考查橢圓的參數(shù)方程的運(yùn)用：求最值，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，屬于中檔題．