Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，求的單調(diào)性；

（2）若在區(qū)間上有零點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）.

【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分別令，解不等式即可求解.

（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分類討論的取值范圍，討論函數(shù)的單調(diào)性；當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，通過單調(diào)性求出函數(shù)的最值，進而可確定是否存在零點.

（1）因為，所以，所以.

令，得或；

令，得.

故的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）由函數(shù)，則

當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

則，，解得；

當(dāng)時，即時，

在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且

則，解得；

當(dāng)時，即時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

因為，所以在區(qū)間上不存在零點，即，不符合題意.

綜上，的取值范圍是.