Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$-ax．
（1）若x=1是函數(shù)f（x）的極值點，求a的值；
（2）若a＞0，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（1）=0，求出a的值，檢驗即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值即可．

解答 解：（1）f′（x）=x²-a，
∵x=1是函數(shù)f（x）的極值點，
∴f′（1）=1-a=0，解得：a=1，
經(jīng)檢驗符合題意，
∴a=1；
（2）由f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$-ax，得：f′（x）=x²-a，
當(dāng)0＜a＜1時，令f′（x）=0，解得：x=$\sqrt{a}$，
列表如下：

x	0	（0，$\sqrt{a}$）	$\sqrt{a}$	（$\sqrt{a}$，1）	1
f′（x）		-	0	+
f（x）	0	↘	-$\frac{2a}{3}$$\sqrt{a}$	↗	$\frac{1}{3}$-a

由表可知，當(dāng)x=$\sqrt{a}$時，f（x）取得最小值為：-$\frac{2a}{3}$$\sqrt{a}$，
當(dāng)a≥1時，f′（x）≤0在[0，1]恒成立，f（x）在[0，1]上是減函數(shù)，
故當(dāng)x=1時，f（x）取得最小值為$\frac{1}{3}$-a，
綜上所述：f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2a}{3}\sqrt{a}，（0＜a＜1）}\\{\frac{1}{3}-a，a≥1}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．