Question

18．已知函數(shù)f（x）=|2x-1|+|2x+a|，g（x）=x+3．
（1）當(dāng)a=-2時(shí)，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
（2）設(shè)a＞-1，且當(dāng)x∈（-$\frac{a}{2}$，$\frac{1}{2}$）時(shí)，f（x）≤g（x），求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對(duì)x分類討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)解出即可得出．
（2）當(dāng)x∈（-$\frac{a}{2}$，$\frac{1}{2}$）時(shí)，f（x）=1+a，不等式f（x）≤g（x）化為1+a≤x+3，化簡(jiǎn)利用a的取值范圍、函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）a=-2時(shí)，f（x）=|2x-1|+|2x-2|，
不等式f（x）＜g（x），
即|2x-1|+2|x-1|-x-3＜0，
x≥1時(shí)，2x-1+2x-2-x-3＜0，解得：1≤x＜2，
$\frac{1}{2}$＜x＜1時(shí)，2x-1-2x+2-x-3＜0，解得：x＞-2，成立，
x≤$\frac{1}{2}$時(shí)，1-2x+2-2x-x-3＜0，解得：x＞0，
綜上，不等式的解集是：（0，2）．
（2）當(dāng)x∈（-$\frac{a}{2}$，$\frac{1}{2}$）時(shí)，f（x）=1+a，不等式f（x）≤g（x）化為1+a≤x+3，
∴x≥a-2對(duì)x∈（-$\frac{a}{2}$，$\frac{1}{2}$）都成立，故-$\frac{a}{2}$≥a-2，即a≤$\frac{4}{3}$，又由已知a＞-1，
∴a的取值范圍為（-1，$\frac{4}{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值不等式的解法、恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．