Question

7．如圖所示，AB是圓O的直徑，直線MN切圓O于C，CD⊥AB，AM⊥MN，BN⊥MN，給出下列四個結(jié)論：
①∠1=∠2=∠3；②AM•CN=CM•BN；③CM=CD=CN；④△ACM∽△ABC∽△CBN．
則其中正確結(jié)論的序號是①③④．

Answer 1

分析 利用圓周角判斷①的正誤；相似三角形判斷②的正誤；三角形全等判斷③的正誤；三角形相似判斷④的正誤．即可得出結(jié)論．

解答 解：∵AB是圓O的直徑，CD⊥AB，∴∠2=∠3，
∵直線MN切圓O于C，∴∠1=∠2，∴∠1=∠2=∠3，①對；
利用△AMN∽△CNB得$\frac{AM}{CM}$=$\frac{CN}{BN}$，∴AM•BN=CM•CN，②錯．
利用△AMN≌△ADC，可得CM=CD，△CDB≌△CNB，可得CD=CN，∴CM=CD=CD，③對；
利用等角的余角相等得到△ACM∽△ABC∽△CBN，④對．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評 本題考查圓的切線的性質(zhì)，考查三角形相似的判定與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．