Question

19．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$，四邊形BDEF是平行四邊形，BD與AC交于點(diǎn)G，O為GC的中點(diǎn)，且FO⊥平面ABCD，F(xiàn)O=$\sqrt{3}$．
（1）求BF與平面ABCD所成的角的正切值；
（2）求證：FC∥平面ADE；
（3）求三棱錐O-ADE的體積．

Answer 1

分析 （1）證明∠FBO即為BF與平面ABCD所成的角，即可求BF與平面ABCD所成的角的正切值；
（2）證明平面BCF∥平面ADE，再證明：FC∥平面ADE；
（3）利用V_O-ADE=V_E-ADO，求三棱錐O-ADE的體積．

解答 （1）解：連接BO，因?yàn)檎�方形ABCD的邊長(zhǎng)為$2\sqrt{2}$，所以BD⊥AC，且DB=AC=4，
又O為GC的中點(diǎn)，所以GO=1，GB=2，BO=$\sqrt{5}$…（2分）
又FO⊥平面ABCD，且$FO=\sqrt{3}$，所以∠FBO即為BF與平面ABCD所成的角
所以，tan∠FBO=$\frac{FO}{BO}=\frac{{\sqrt{15}}}{5}$…（4分）
（2）證明：由正方形ABCD知BC∥AD，所以BC∥平面ADE，
又由平行四邊形BDEF知 BF∥DE，所以BF∥平面ADE，…（6分）
因?yàn)锽C∩BF=B，所以平面BCF∥平面ADE，
而FC?平面BCF，所以FC∥平面ADE．---------------------（8分）
（3）解：由上知，AO=3，所以S_△ADO=$\frac{1}{2}•AO•DG$=$\frac{1}{2}•3•2$=3----------（9分）
又BDEF是平行四邊形，且FO⊥平面ABCD，$FO=\sqrt{3}$，所以三棱錐E-ADO的高為$\sqrt{3}$
所以V_O-ADE=V_E-ADO=$\frac{1}{3}•3•\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$-------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面角，考查線面平行的判定，考查等體積法求三棱錐的體積，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．