Question

函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）且對(duì)一切x＞0，y＞0，都有f(

x

y

)=f(x)-f(y)，當(dāng)x＞1時(shí)，總有f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性并證明；
（3）若f（4）=6，解不等式f（x-1）+f（x-2）≤3．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x=y=1，代入可解得．
（2）先判斷，后證明，利用單調(diào)性的定義證明；
（3）令x=4，y=2，可得f（2）=f（4）-f（2），從而求出f（2）=3，則原不不等式等價(jià)于f（x²-3x+2）≤f（2），從而解得．

解答： 解：（1）令x=y=1，
代入可得，f（

1

1

）=f（1）-f（1）=0，
即f（1）=0；
（2）f（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)；證明如下：
任取0＜x1＜x2，f(x2)-f(x1)=f(

x2

x1

)，
∵

x2

x1

＞1，∴f(

x2

x1

)＞0，
即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)；
（3）令x=4，y=2，可得，
f（2）=f（4）-f（2），
則f（2）=3，
則原不等式等價(jià)于f（x²-3x+2）≤f（2），
即

x-1＞0 x-2＞0 x2-3x+2≤2

，
解得 2＜x≤3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了抽象函數(shù)函數(shù)值的求法，單調(diào)性的證明與應(yīng)用，屬于中檔題．