Question

13．已知函數(shù)f（x）=x²-2mx+2，x∈[-1，1]．
（1）若f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增，求m的取值范圍；
（2）f（x）的最小值是關(guān)于m的函數(shù)g（m），求g（m）的解析式和g（m）的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性結(jié)合對稱軸和區(qū)間的關(guān)系進行求解即可求m的取值范圍；
（2）討論對稱軸和區(qū)間的關(guān)系即可求出函數(shù)的解析式．

解答 解：（1）∵f（x）=x²-2mx+2，x∈[-1，1]．
∴函數(shù)的對稱軸為x=m，
若f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增，
則m≤-1，
即m的取值范圍是（-∞，-1]；
（2）f（x）的最小值是關(guān)于m的函數(shù)g（m），求g（m）的解析式和g（m）的最大值．
①若 m＜-1，此時函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞增，
∴最小值g（m）=f（-1）=3+2m．
②若-1≤m≤1，此時當(dāng)x=m時，函數(shù)f（x）最小，最小值g（m）=f（m）=m²-2m²+2=2-m²．
③若m＞1，此時函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減，∴最小值g（m）=f（1）=3-2m．
綜上g（m）=$\left\{\begin{array}{l}{3+2m，}&{m＜-1}\\{2-{m}^{2}，}&{-1≤m≤1}\\{3-2m，}&{m＞1}\end{array}\right.$，
對應(yīng)的圖象為：
則由圖象可知當(dāng)m=0時，函數(shù)g（m）的最大值為g（0）=2．

點評 本題主要考查一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)對稱軸和區(qū)間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．