Question

12．已知橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，左右焦點分別為F₁，F₂，過F₁且斜率不為0的直線l交橢圓于A，B兩點，則|BF₂||AF₂|的最大值為（　�。�

• A． 3
• B． 6
• C． 4
• D． $\frac{25}{4}$

Answer 1

分析 由橢圓的性質可得：當且僅當AB⊥x軸時，|AB|取得最小值．由橢圓的定義可知：|BF₂|+|AF₂|+|AB|=4a，再利用基本不等式的性質即可得出．|

解答 解：由橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，可得a=2，b²=3，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=1．
∴左右焦點分別為F₁（-1，0），F₂（1，0）．當且僅當AB⊥x軸時，|AB|取得最小值為2×$\frac{3}{2}$=3．
由橢圓的定義可知：|BF₂|+|AF₂|+|AB|=4a=8，則|BF₂|+|AF₂|=8-|AB|≤8-3=5，
∴5≥$2\sqrt{|B{F}_{2}||A{F}_{2}|}$，可得|BF₂||AF₂|≤$\frac{25}{4}$，當且僅當|BF₂|=|AF₂|=$\frac{5}{2}$時取等號．
故選：D．

點評 本題考查了橢圓的定義及其性質、基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．