Question

14．某商人經(jīng)過多年的經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)本店每個月售出的某種商品件數(shù)ξ是一個隨機(jī)變量，它的分布列為：P（ξ=i）=$\frac{1}{12}$（i=1，2，…，12）；設(shè)每售出一件該商品，商人獲利500元．如銷售不出，則每件該商品每月需花保管費100元．問商人每月初購進(jìn)多少件該商品才能使月平均收益最大？

Answer 1

分析 根據(jù)題意設(shè)出變量，設(shè)x為電器商每月初購進(jìn)的冰箱的臺數(shù)，依題意，只需考慮1≤x≤12的情況．設(shè)電器商每月的收益為y，列出關(guān)于x與y之間的關(guān)系式，設(shè)出電器商每月獲益的數(shù)學(xué)期望，整理出最簡結(jié)果，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求出結(jié)論．

解答 解：設(shè)x為電器商每月初購進(jìn)的冰箱的臺數(shù)，依題意，只需考慮1≤x≤12的情況．
設(shè)電器商每月的收益為y
則y是隨機(jī)變量ξ的函數(shù)，且y=$\left\{\begin{array}{l}{500x，ξ≥x}\\{500ξ-100（x-ξ），ξ＜x}\end{array}\right.$
于是電器商每月獲益的平均數(shù)，即為：
y=500x（P_x+P_x+1+…+P₁₂）+[500-100（x-1）]P₁+[2×500-100（x-2）]P₂+…+[（x-1）×500-100]P_x-1
=500x（12-x+1）•$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{12}$•[500•$\frac{x（x-1）}{2}$-100•$\frac{x（x-1）}{2}$]
=$\frac{25}{3}$（-3x²+53x）；
∵x∈N^*，
∴當(dāng)x=$\frac{53}{2×3}$，即x=9時，
所以商人每月初購進(jìn)9件該商品才能使月平均收益最大．

點評 本題考查離散型隨機(jī)變量的期望，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，是一個綜合題目，這種題目是概率同函數(shù)結(jié)合的問題，一般比較困難，解題時注意自變量的取值范圍．