Question

6．如圖，已知扇形AOP的半徑為1，圓心角大小為$\frac{π}{3}$，等腰梯形ABCD是扇形AOP的內(nèi)接梯形，頂點C，D分別在OP，OA上．頂點B在弧AP上，設(shè)∠AOB=θ．
（1）求出用θ表示等腰梯形ABCD的面積S的函數(shù)關(guān)系式；
（2）是否存在面積為$\frac{\sqrt{3}}{6}$的等腰梯形ABCD，若存在，求出此時梯形的高，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件，求出梯形的底邊與高的長度，然后表示出梯形的面積．
（2）通過面積的值，求解正弦函數(shù)值，也就是梯形的高．推出結(jié)果即可．

解答 解：（1）作BF⊥AD于F，CE⊥A于E，
則OF=cosθ，BF=sinθ，AF=1-cosθ，BC=OF-OE=cosθ-$\frac{sinθ}{tan\frac{π}{3}}$=cosθ-$\frac{\sqrt{3}}{3}sinθ$，
AD=BC+2AF=cosθ-$\frac{\sqrt{3}}{3}sinθ$+2（1-cosθ）=2-cosθ-$\frac{\sqrt{3}}{3}sinθ$，
S=$\frac{AD+CB}{2}×BF$=$\frac{（cosθ-\frac{\sqrt{3}}{3}sinθ+2-cosθ-\frac{\sqrt{3}}{3}sinθ）}{2}×sinθ$
=$（1-\frac{\sqrt{3}}{3}sinθ）sinθ$.$θ∈（0，\frac{π}{3}）$．
（2）存在面積為$\frac{\sqrt{3}}{6}$的等腰梯形ABCD，可得$（1-\frac{\sqrt{3}}{3}sinθ）sinθ=\frac{\sqrt{3}}{6}$，
可得-$\frac{\sqrt{3}}{3}{sin}^{2}θ+sinθ-\frac{\sqrt{3}}{6}=0$，
即：${2sin}^{2}θ-2\sqrt{3}sinθ+1=0$，
解得sin$θ=\sqrt{3}-1$，sinθ=$\sqrt{3}+1$（舍去）．
此時梯形的高：$\sqrt{3}-1$．

點評 本題考查函數(shù)的幾何中的應(yīng)用，三角函數(shù)的應(yīng)用，三角方程的解法，考查計算能力．