Question

15．已知f（x）是二次函數(shù)，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），且f（x）在區(qū)間[-1，4]上的最大值是12．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求使f（x）＞2m-1在區(qū)間x∈[-1，4]上恒成立的m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可求f（x）的解析式；
（2）利用參數(shù)分離法，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）是二次函數(shù)，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），
∴0，5是方程f（x）=0的兩個(gè)根，且拋物線開口向上，
設(shè)f（x）=ax（x-5），a＞0．
則對稱軸為x=$\frac{5}{2}$，
∵f（x）在區(qū)間[-1，4]上的最大值是12，
∴當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)取得最大值，
此時(shí)f（-1）=6a=12，解得a=2．
則f（x）=2x（x-5）．
（2）由f（x）＞2m-1，得2x（x-5）＞2m-1，
即2x²-10x+1＞2m在區(qū)間x∈[-1，4]上恒成立，
設(shè)g（x）=2x²-10x+1，
則g（x）=2x²-10x+1=2（x-$\frac{5}{2}$）²$-\frac{23}{2}$，
∵x∈[-1，4]上，
∴當(dāng)x=$\frac{5}{2}$時(shí)，函數(shù)g（x）取得最小值為$-\frac{23}{2}$，
則由$-\frac{23}{2}$＞2m，得m＜$-\frac{23}{4}$，
即m的取值范圍是（-∞，$-\frac{23}{2}$）．

點(diǎn)評 本題主要考查一元二次函數(shù)解析式的求解，以及一元二次函數(shù)最值的求解，利用待定系數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵．