Question

15．函數(shù)f（x）=sin²x+2acosx-a-3．
（I）當(dāng)a=2時(shí)，求f（x）最大值．
（Ⅱ）若f（x）的最大值為2，求a的值．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為關(guān)于cosx的二次函數(shù)求值；
（II）根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系配方，化成關(guān)于cosx的二次函數(shù)，討論對(duì)稱軸與區(qū)間[-1，1]的關(guān)系，根據(jù)最大值列出方程解出．

解答 解：（I）a=2時(shí)，f（x）=sin²x+4cosx-5=-cos²x+4cosx-4=-（cosx-2）²．
∵cosx∈[-1，1]，∴當(dāng)cosx=1時(shí)，f（x）取得最大值-1．
（II）f（x）=1-cos²x+2acosx-a-3=-（cosx-a）²+a²-a-2．
當(dāng)a≤-1時(shí)，f_max（x）=-（-1-a）²+a²-a-2=2，解得a=-$\frac{5}{3}$．
當(dāng)a≥1時(shí)，f_max（x）=-（1-a）²+a²-a-2=2，解得a=5．
當(dāng)-1＜a＜1時(shí)，f_max（x）=a²-a-2=2，解得a=$\frac{1±\sqrt{17}}{2}$（舍）．
綜上，a=-$\frac{5}{3}$或a=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的最值，三角函數(shù)的恒等變換，二次函數(shù)的最值討論，屬于基礎(chǔ)題．