18.(Ⅰ) 在圓x2+y2=4上任取一點(diǎn)P,過點(diǎn)P作x軸的垂線段,D為垂足,當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求線段PD的中點(diǎn)Q的軌跡方程;
(Ⅱ)記(Ⅰ)中的軌跡為曲線為C,斜率為k(k≠0)的直線l交曲線C于M(x1,y1),N(x2,y2)兩點(diǎn),記直線OM,ON的斜率分別為k1,k2,當(dāng)3(k1+k2)=8k時(shí),證明:直線l過定點(diǎn).

分析 (Ⅰ)設(shè)點(diǎn)Q(x,y),P(x0,y0),則x=x0,y=$\frac{{y}_{0}}{2}$,由x0+y0=4可得x2+4y2=4,即可得答案;
(Ⅱ)依題意可設(shè)直線l的方程為x=my+n,代入橢圓方程得:(m2+4)y2+2mny+n2-4=0,利用根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式即可得出結(jié)論.

解答 (Ⅰ)解:設(shè)點(diǎn)Q(x,y),P(x0,y0),
則x=x0,y=$\frac{{y}_{0}}{2}$.
由x0+y0=4可得x2+4y2=4,即$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$.
∴線段PD的中點(diǎn)Q的軌跡方程為:$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$.
(Ⅱ)證明:依題意可設(shè)直線l的方程為x=my+n,
代入橢圓方程得:(m2+4)y2+2mny+n2-4=0,
則$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{2mn}{{m}^{2}+4}}\\{{y}_{1}{y}_{2}=\frac{{n}^{2}-4}{{m}^{2}+4}}\end{array}\right.$,
∴${k}_{1}+{k}_{2}=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}{x}_{2}+{y}_{2}{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}(m{y}_{2}+n)+{y}_{2}(m{y}_{1}+n)}{(m{y}_{1}+n)(m{y}_{2}+n)}$
=$\frac{2m{y}_{1}{y}_{2}+n({y}_{1}+{y}_{2})}{{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}+mn({y}_{1}+{y}_{2})+{n}^{2}}=\frac{2m}{{m}^{2}-{n}^{2}}$,
由條件有$\frac{6m}{{m}^{2}-{n}^{2}}=\frac{8}{m}$,得$n=±\frac{1}{2}m$.
則直線l的方程為$x=my±\frac{1}{2}m$,從而直線l過定點(diǎn)(0,$\frac{1}{2}$)或(0,$-\frac{1}{2}$).

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軌跡方程,考查了直線與橢圓的位置關(guān)系,考查了計(jì)算能力,是中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

1.已知橢圓C以原點(diǎn)為對(duì)稱中心、右焦點(diǎn)為F(2,0),長軸長為4$\sqrt{2}$,直線l:y=kx+m(k≠0)交橢圓C于不同點(diǎn)兩點(diǎn)A,B.
(1)求橢圓C的方程;
(2)是否存在實(shí)數(shù)k,使線段AB的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)Q(0,3)?若存在求出k的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

9.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn),G,H分別為AA1,AB,BB1,B1C1的中點(diǎn).則異面直線EF與GH所成的角等于( 。
A.120°B.90°C.60°D.45°

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

6.給出下列說法:①數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn與x1+1,x2+1,…,xn+1的方程一樣;②線性回歸方程y=bx+a必過點(diǎn)$({\overline x,\overline y})$;③任意兩個(gè)復(fù)數(shù)均無法比較大。渲绣e(cuò)誤的個(gè)數(shù)為( 。
A.0B.1C.2D.3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

13.已知△ABC中,A:B:C=1:1:4,則a:b:c等于( 。
A.1:1:$\sqrt{3}$B.2:2:$\sqrt{3}$C.1:1:2D.1:1:4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

3.已知直線a?α,則α⊥β是a⊥β的( 。
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

10.過拋物線y=ax2(a>0)的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于P,Q兩點(diǎn),若線段PF和線段FQ的長分別是p,q,則$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}$等于(  )
A.$\frac{1}{4a}$B.$\frac{1}{2a}$C.2aD.4a

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

7.已知a,b,c為直角三角形中的三邊長,c為斜邊長,若點(diǎn)M(m,n)在直線l:ax+by+3c=0上,則m2+n2的最小值為( 。
A.2B.3C.4D.9

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

8.已知實(shí)數(shù)集R,集合A={x|1<x<3},集合B={x|y=$\frac{1}{\sqrt{x-2}}$},則A∩(∁RB)=(  )
A.{x|1<x≤2}B.{x|1<x<3}C.{x|2≤x<3}D.{x|1<x<2}

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案