Question

18．已知$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2a-（x+\frac{4}{x}），x＜a\\ x-\frac{4}{x}，x≥a\end{array}\right.$．
①當a=1時，f（x）=3，則x=4；
②當a≤-1時，若f（x）=3有三個不等實數(shù)根，且它們成等差數(shù)列，則a=$-\frac{11}{6}$．

Answer 1

分析 ①當a=1時，f（x）=3，利用分段函數(shù)建立方程，即可求出x的值；
②由f（x）=3，求得x=-1，或 x=4，根據(jù)x₁＜x₂＜x₃，且它們依次成等差數(shù)列，可得a≤-1，f（-6）=3，由此求得a的值．

解答 解：①x≥1，x-$\frac{4}{x}$=3，可得x=4；x＜1，2-（x+$\frac{4}{x}$）=3，即x²+x+4=0無解，故x=4；
②由于當x＞a時，解方程f（x）=3，可得x-$\frac{4}{x}$=3，求得x=-1，或 x=4．
∵x₁＜x₂＜x₃，且它們依次成等差數(shù)列，∴x₂=-1，x₃=4，x₁ =-6，∴a≤-1．
∴x＜a時，方程f（x）=3只能有一個實數(shù)根為-6，
再根據(jù)f（-6）=2a+6+$\frac{2}{3}$=3，求得a=$-\frac{11}{6}$，滿足a≤-1．
故答案為4，$-\frac{11}{6}$．

點評 本題主要考查分段函數(shù)，利用函數(shù)的單調性求函數(shù)的最值，等差數(shù)列的性質，體現(xiàn)了分類討論以及轉化的數(shù)學思想，屬于中檔題．