Question

11．某師范院校志愿者協(xié)會有10名同學(xué)，成員構(gòu)成如表，其中表中部分數(shù)據(jù)不清楚，只知道從這10名同學(xué)中隨機抽取一位，抽到該名同學(xué)為“中文專業(yè)”的概率為$\frac{1}{5}$．

專業(yè) 性別	中文	英語	數(shù)學(xué)	體育
男	m	1	n	1
女	1	1	1	1

現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機選取3名同學(xué)參加社會公益活動（每位同學(xué)被選到的可能性相同）
（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）求選出的3名同學(xué)恰為專業(yè)互不相同的概率．
（Ⅲ）設(shè)ξ為選出的3名同學(xué)中“女生”的人數(shù)，求隨機變量ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知，$\frac{1+m}{10}=\frac{1}{5}$．由此能求出m，n．
（Ⅱ）先求出基本事件總數(shù)，再求出選出的3名同學(xué)恰為專業(yè)互不相同，包含的基本事件個數(shù)，由此能求出選出的3名同學(xué)恰為專業(yè)互不相同的概率．
（Ⅲ）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)事件A：從10位學(xué)生中隨機抽取一位，抽到該名同學(xué)為“中文專業(yè)”．由題意可知，“中文專業(yè)”的學(xué)生共有（1+m）人．
則P（A）=$\frac{1+m}{10}=\frac{1}{5}$．解得m=1，
∴n=10-2-2-2-1=3．
（Ⅱ）從這10名同學(xué)中隨機選取3名同學(xué)參加社會公益活動（每位同學(xué)被選到的可能性相同），
基本事件總數(shù)$n={C}_{10}^{3}$=120，
選出的3名同學(xué)恰為專業(yè)互不相同，包含的基本事件個數(shù)：
m=${C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}$+${C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}$+${C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}$+${C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}$=56，
∴選出的3名同學(xué)恰為專業(yè)互不相同的概率p=$\frac{m}{n}$=$\frac{56}{120}$=$\frac{7}{15}$．
（Ⅲ）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{20}{120}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{6}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{60}{120}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{6}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{36}{120}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{4}{120}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{20}{120}$	$\frac{60}{20}$	$\frac{36}{120}$	$\frac{4}{120}$

Eξ=$0×\frac{20}{120}+1×\frac{60}{120}+2×\frac{36}{120}+3×\frac{4}{120}$=$\frac{6}{5}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的要布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．