Question

6．如圖，在△ABC中，已知AB=3，BC=4，∠ABC=60°，BD為AC邊上的中線．
（1）設(shè)$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow$，用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$表示向量$\overrightarrow{BD}$；
（2）求中線BD的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的平行四邊形的法則即可求出，
（2）根據(jù)向量的模的計(jì)算和向量的數(shù)量積即可求出．

解答 解：（1）∵設(shè)$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow$，BD為AC邊上的中線．
∴$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$），
（2）∵$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$），AB=3，BC=4，∠ABC=60°，
∴|$\overrightarrow{BD}$|²=$\frac{1}{4}$（|$\overrightarrow{BA}$|²+|$\overrightarrow{BC}$|²+2$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$）=$\frac{1}{4}$（|$\overrightarrow{BA}$|²+|$\overrightarrow{BC}$|²+2|$\overrightarrow{BA}$|•|$\overrightarrow{BC}$|cos60°）=$\frac{1}{4}$（9+16+2×3×4×$\frac{1}{2}$）=$\frac{37}{4}$，
∴|$\overrightarrow{BD}$|=$\frac{\sqrt{37}}{2}$，
故中線BD的長為$\frac{\sqrt{37}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了向量的加減幾何意義以及向量的模的計(jì)算和向量的數(shù)量積公式，屬于基礎(chǔ)題．