Question

16．若函數(shù)y=f（x）的圖象上存在關(guān)于原點對稱的兩點M，N，則稱函數(shù)f（x）有一組“對點”（“M與N”和“N與M”視為同一組“對點”），已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x^2+4x，x＜0}\\{\frac{m}{e^x}，x≥0}\end{array}\right.$，有兩組“對點”，則非零實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． （（4-4$\sqrt{2}$）•e${\;}^{-\sqrt{2}}$，0）∪（0，（4$\sqrt{2}$-4）•e${\;}^\sqrt{2}$）
• B． （（2-2$\sqrt{2}$）•e${\;}^{-\sqrt{2}}$，0）∪（0，（2$\sqrt{2}$-2）•e${\;}^\sqrt{2}$）
• C． （0，（2$\sqrt{2}$-2）•e${\;}^\sqrt{2}$）
• D． （0，（4$\sqrt{2}$-4）•e${\;}^\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 根據(jù)“對點”的定義可知，只需要利用圖象，作出函數(shù)f（x）=2x²+4x，x＜0關(guān)于原點對稱的圖象，利用對稱圖象在x＞0時，滿足有兩個交點即可得到結(jié)論．

解答 解：由題意知函數(shù)f（x）=2x²+4x，x＜0關(guān)于原點對稱的圖象為-y=2x²-4x，
即y=-2x²+4x，x＞0，
作出兩個函數(shù)的圖象如圖，要使函數(shù)f（x）存在兩組“對點”，
則等價為當x＞0時，y=-2x²+4x，x＞0與f（x）=$\frac{m}{{e}^{x}}$在x＞0時，有兩個交點，
若m＜0，由圖象知此時兩個圖象只有一個交點，不滿足條件．
若m＞0，由-2x²+4x=$\frac{m}{{e}^{x}}$得m=（-2x²+4x）e^x，
設(shè)h（x）=（-2x²+4x）e^x，
則h′（x）=-2（x²-2）e^x，
由h′（x）=-2（x²-2）e^x=0得x²-2=0，
得x=$\sqrt{2}$或x=-$\sqrt{2}$（舍），
則當x＞$\sqrt{2}$時，h′（x）＜0，當0＜x＜$\sqrt{2}$時，h′（x）＞0，
即當x=$\sqrt{2}$時，h（x）取得極大值h（$\sqrt{2}$）=（4$\sqrt{2}$-4）•e${\;}^\sqrt{2}$，
故當x＞0時，要使兩個圖象只有2個交點，
則m＜（4$\sqrt{2}$-4）•e${\;}^\sqrt{2}$，
綜上0＜m＜（4$\sqrt{2}$-4）•e${\;}^\sqrt{2}$，
故選：D．

點評 本題主要考查新定義題目，讀懂題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想，構(gòu)造函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值和極值是解決本題的關(guān)鍵．