Question

11．（Ⅰ）從{-3，-2，-1，0，1，2，3，4}中任選三個(gè)不同元素作為二次函數(shù)y=ax²+bx+c的系數(shù)，問(wèn)能組成多少條經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且頂點(diǎn)在第一象限或第三象限的拋物線？
（Ⅱ）已知（$\frac{1}{2}$+2x）ⁿ，若展開式中第5項(xiàng)、第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)頂點(diǎn)在第一象限和頂點(diǎn)在第三象限兩種情況分類討論，求出結(jié)果．
（Ⅱ）第k+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C_n^k，由題意可得關(guān)于n的方程，求出n．而二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間項(xiàng)，n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)相等；n為偶數(shù)時(shí)，中間只有一項(xiàng)．

解答 解：（Ⅰ）拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，得c=0，
當(dāng)頂點(diǎn)在第一象限時(shí)，a＜0，-$\frac{2a}$＞0，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{b＞0}\end{array}\right.$，則有3×4=12（種）；
當(dāng)頂點(diǎn)在第三象限時(shí)，a＞0，-$\frac{2a}$＜0，
即a＞0，b＞0，則有4×3=12（種）；
共計(jì)有12+12=24（種）．
（Ⅱ）∵C_n⁴+C_n⁶=2C_n⁵，
∴n²-21n+98=0，
∴n=7或n=14．
當(dāng)n=7時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T₄和T₅，
∴T₄的系數(shù)=C₇³（$\frac{1}{2}$）⁴2³=$\frac{35}{2}$，
T₅的系數(shù)=C₇⁴（$\frac{1}{2}$）³2⁴=70．
當(dāng)n=14時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T₈．
∴T₈的系數(shù)=C₁₄⁷（$\frac{1}{2}$）⁷2⁷=3432．

點(diǎn)評(píng) 本題考查滿足條件的拋2的條數(shù)的求法，考查二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和與系數(shù)和問(wèn)題，難度較大，易出錯(cuò)．要正確區(qū)分這兩個(gè)概念．