Question

17．記不等式組$\left\{\begin{array}{l}4x+3y≥10\\ x≤3\\ y≤4\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域為D，過區(qū)域D中任意一點P作圓x²+y²=1的兩條切線，切點分別為A，B，則cos∠PAB的最大值為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用直線和圓相切的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為OP最小，然后利用點到直線的距離公式進行求解即可．

解答 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
若cos∠PAB最大，則只需要∠PAB最小，即∠APO最大即可，
則sin∠APO=$\frac{OA}{OP}$=$\frac{1}{OP}$最大，此時OP最小即可，
此時OP的最小值為O到直線4x+3y-10=0的距離，
此時OP=$\frac{|10|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{10}{5}$=2，
∵OA=1，∴∠APO=$\frac{π}{6}$，∠PAB=$\frac{π}{3}$，
則cos∠PAB=$\frac{1}{2}$，
故選：A

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的綜合應(yīng)用，根據(jù)條件結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為OP最小以及利用點到直線的距離公式是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強．