Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）對任意實(shí)數(shù)x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時f（x）＜0，f（1）=-2，試問在-3≤x≤3時，f（x）是否有最值？若有，求出其最值，若沒有，說明理由．

Answer 1

分析 利用賦值法求f（0）的值結(jié)合定義證明函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．

解答 解：令x=y=0則f（0）=2f（0），∴f（0）=0
對任意x∈R，取y=-x則f[x+（-x）]=f（x）+f（-x）=f（0）=0，
即f（-x）=-f（x），
∴f（x）是R上的奇函數(shù)，
任意取x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，則x₂=x₁+△x（其中△x＞0），
則f（△x）＜0，
∴f（x₂）=f（x₁+△x）=f（x₁）+f（△x），
∴f（x₂）-f（x₁）=f（△x）＜0，
即f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）是R上的減函數(shù)，
即f（x）在-3≤x≤3上存在最值，最大值為f（-3）=-f（3），最小值為f（3）．
∵f（1）=-2，
∴f（1）+f（1）=f（2）=-4，
即f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=-2-4=-6，
即最大值f（-3）=-f（3）=6，最小值為f（3）=-6．

點(diǎn)評 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用．利用賦值法，結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)先判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．