分析 (Ⅰ)由題意知3q2-4q+1=0,從而求出公比,進(jìn)而求通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知$\frac{n}{a_n}=n•{3^n}$,從而利用錯(cuò)位相減法求其前n項(xiàng)和Tn;
(Ⅲ)化簡(jiǎn)${c_n}={log_{\frac{1}{3}}}{a_{2n-1}}$為cn=2n-1,從而利用裂項(xiàng)求和法及拆項(xiàng)求和法求其前n項(xiàng)和.
解答 解:(Ⅰ)∵${a_1},2a_2^{\;},3{a_3}$成等差數(shù)列,
∴4a2=a1+3a3,
∴3q2-4q+1=0,
∵q≠1,
∴$q=\frac{1}{3}$,
∴an=$\frac{1}{3}$•$(\frac{1}{3})^{n-1}$=$\frac{1}{{3}^{n}}$;
(Ⅱ)由(Ⅰ)$\frac{n}{a_n}=n•{3^n}$,
∴${T_n}=1•3+2•{3^2}+3•{3^3}+…+n•{3^n}$①,
$3{T_n}=1•{3^2}+2•{3^3}+…+(n-1)•{3^n}+n•{3^{n+1}}$②,
①-②得,
$-2{T_n}=1•3+1•{3^2}+1•{3^3}+…+1•{3^n}-n•{3^{n+1}}═\frac{{3(1-{3^n})}}{1-3}-n•{3^{n+1}}$,
∴${T_n}=\frac{{3(1-{3^n})}}{4}+\frac{{n•{3^{n+1}}}}{2}$.
(Ⅲ)由${c_n}={log_{\frac{1}{3}}}{a_{2n-1}}$,得cn=2n-1,
$\frac{{4{n^2}}}{{{c_n}^2+{c_n}}}=\frac{{4{n^2}}}{(2n-1)(2n+1)}=1+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=1+\frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$,${P_{2016}}=1+\frac{1}{2}(\frac{1}{1}-\frac{1}{3})+1+\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+1+\frac{1}{2}(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})+…+1+\frac{1}{2}(\frac{1}{4031}-\frac{1}{4033})$=$2016+\frac{2016}{4033}$,
∴不超過P2016的最大的整數(shù)k是2016.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的判斷與應(yīng)用,同時(shí)考查了錯(cuò)位相減法及裂項(xiàng)求和法的應(yīng)用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | $\frac{π}{4}$ | B. | $\frac{π}{3}$ | C. | $\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$ | D. | $\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 2 | B. | $\frac{1}{3}$ | C. | -$\frac{1}{2}$ | D. | -3 |
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