Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）=（x+a）lnx+b，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線為x+y-2=0．
（Ⅰ）求y=f（x）的解析式
（Ⅱ）證明：f（x）＞0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，解方程組可得a，b，進(jìn)而得到所求解析式；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理，可得存在x₀∈（1，2）使得f′（x）=0，證明f（x₀）為最小值，且大于0，即可得證．

解答 （Ⅰ）解：∵函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)$f'（x）=lnx+\frac{x+a}{x}$，
∴f′（1）=1+a=-1，即a=-2，
又點(diǎn)（1，f（1））在切線x+y-2=0上，
∴1+b-2=0，即b=1，
∴y=f（x）的解析式為f（x）=（x-2）lnx+1；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知${f^'}（x）=lnx+\frac{x-2}{x}=lnx-\frac{2}{x}+1$，
又∵f′（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，
且f′（1）=-1＜0，f′（2）=ln2＞0，
∴存在x₀∈（1，2）使得f′（x）=0．
當(dāng)0＜x＜x₀時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減；
當(dāng)x＞x₀時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增．
∴f（x）≥f（x₀）=（x₀-2）lnx₀+1．
由f′（x₀）=0得$ln{x_0}=\frac{2}{x_0}-1$，
∴$f（x）≥f（{x_0}）=（{x_0}-2）ln{x_0}+1=（{x_0}-2）（\frac{2}{x_0}-1）+1=5-（{x_0}+\frac{4}{x_0}）$．
令$r（x）=x+\frac{4}{x}（1＜x＜2）$，則${r^'}（x）=1-\frac{4}{x^2}=\frac{（x+2）（x-2）}{x^2}＜0$，
∴r（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)單調(diào)遞減，所以r（x）＜r（1）=5，
∴$f（x）＞5-（x+\frac{4}{x}）＞5-5=0$．
綜上，對(duì)任意x∈（0，+∞），f（x）＞0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、最值，考查不等式的證明，注意運(yùn)用函數(shù)零點(diǎn)存在定理和構(gòu)造法，運(yùn)用單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．