Question

11．正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB，E為AA₁的中點(diǎn)．
（1）求異面直線BE與CD₁所成角的余弦值．
（2）求EC₁與平面DCC₁D₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知得CD₁∥BA₁，從而∠A₁BE是異面直線BE與CD₁所成角，由此能求出異面直線BE與CD₁所成角的余弦值．
（2）取DD₁中點(diǎn)F，連結(jié)EF，則EF⊥平面DCC₁D₁，垂足為F，則∠EC₁F是EC₁與平面DCC₁D₁所成角，由此能求出EC₁與平面DCC₁D₁所成角的正弦值．

解答 解：（1）∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB，E為AA₁的中點(diǎn)，
∴CD₁∥BA₁，∴∠A₁BE是異面直線BE與CD₁所成角，
設(shè)AA₁=2AB=2，則$BE=\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，A₁E=1，${A}_{1}B=\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴cos∠A₁BE=$\frac{{A}_{1}{B}^{2}+B{E}^{2}-{A}_{1}{E}^{2}}{2×{A}_{1}B×BE}$
=$\frac{5+2-1}{2×\sqrt{5}×\sqrt{2}}$
=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
∴異面直線BE與CD₁所成角的余弦值為$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
（2）取DD₁中點(diǎn)F，連結(jié)EF，則EF⊥平面DCC₁D₁，垂足為F，
則∠EC₁F是EC₁與平面DCC₁D₁所成角，
設(shè)AA₁=2AB=2，則EF=1，C₁F=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，C₁E=$\sqrt{E{F}^{2}+{C}_{1}{F}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴sin∠EC₁F=$\frac{EF}{{C}_{1}E}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴EC₁與平面DCC₁D₁所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．