Question

9．已知函數(shù)f（x）=2lnx-ax²+1
（1）若f（x）有兩個零點，求a的取值范圍；
（2）存在實數(shù)m使得f（x）=m的兩個零點α、β都屬于區(qū)間[1，4]，且β-α=1，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合f（x）有兩個零點，求a的取值范圍；
（2）利用β-α=1，即 2lnα-2lnβ+α（α+β）=0，可得2lnα-2ln（α+1）+α（2α+1）=0，α∈[1，3]，設(shè)h（x）=2lnx-2ln（x+1）+α（2x+1）x∈[1，3]，確定h（x）在[1，3]上遞增，h（x）在[1，3]有零點，即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{2-2a{x}^{2}}{x}$（x＞0）
當(dāng)a≤0 時，f′（x）＞0恒成立，則f（x）在（0，+∞）上遞增，則f（x）不可能有兩個零點．
當(dāng)a＞0時，由f′（x）＞0 得$0＜x＜\frac{1}{\sqrt{a}}$則f（x）在（0，$\frac{1}{\sqrt{a}}$）單調(diào)遞增；
 由f′（x）＜0得x$＞\frac{1}{\sqrt{a}}$在（$\frac{1}{\sqrt{a}}，+∞$）單調(diào)遞減．
∴f（x） 在x=$\frac{1}{\sqrt{a}}$ 有最大值，f（x）有兩個零點只需f（$\frac{1}{\sqrt{a}}$）＞0得
f（$\frac{1}{\sqrt{a}}$）=2ln（$\frac{1}{\sqrt{a}}$）-a$（\frac{1}{\sqrt{a}}）^{2}$+1=2ln（$\frac{1}{\sqrt{a}}$）＞0 解得 0＜a＜1．
綜上可得a∈（0，1）．…6分
（2）由（1）知當(dāng)a≤0時，f（x）在[1，4]上遞增，不合題意，故a＞0；
由題設(shè)f（α）=f（β） 則2lnα-αx²+1=2lnβ-αβ²+1
考慮到β-α=1，即 2lnα-2lnβ+α（α+β）=0                    
∴2lnα-2ln（α+1）+α（2α+1）=0，α∈[1，3]
設(shè)h（x）=2lnx-2ln（x+1）+α（2x+1）x∈[1，3]
則h'（x）=$\frac{2}{x}-\frac{2}{x+1}+2a＞0$ 在（1，3）上恒成立，
∴h（x）在[1，3]上遞增，h（x）在[1，3]有零點，則
$\left\{\begin{array}{l}{h（1）≤0}\\{h（3）≥0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{-2ln2+3a≤0}\\{2ln3-2ln4+7a≥0}\end{array}\right.$，∴$\frac{2}{7}ln\frac{4}{3}≤a≤\frac{2}{3}ln2$
故實數(shù)a的取值范圍是[$\frac{2}{7}$ln$\frac{4}{3}$，$\frac{2}{3}$ln2]…12分．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．