Question

16．已知命題p：在x∈[1，2]內(nèi)，不等式x²-ax+2＜0恒成立；命題q：函數(shù)f（x）=x²-2ax+3a是區(qū)間（-∞，1]上的減函數(shù)，若命題“p或q”是真命題，“p且q”是假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 若命題p是真命題：在x∈[1，2]內(nèi)，不等式x²-ax+2＜0恒成立，則$a＞（x+\frac{2}{x}）_{max}$，令g（x）=$x+\frac{2}{x}$，x∈[1，2]，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出g（x）_max．若命題q是真命題：函數(shù)f（x）=x²-2ax+3a是區(qū)間（-∞，1]上的減函數(shù)，利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得1≤a．若命題“p或q”是真命題，“p且q”是假命題，可得：命題p與q必然一真一假．

解答 解：若命題p是真命題：在x∈[1，2]內(nèi)，不等式x²-ax+2＜0恒成立，則$a＞（x+\frac{2}{x}）_{max}$，令g（x）=$x+\frac{2}{x}$，x∈[1，2]，g′（x）=$1-\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-2}{{x}^{2}}$，當(dāng)x∈$[1，\sqrt{2}）$時(shí)，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈$（\sqrt{2}，2]$時(shí)，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增．而g（1）=3，g（2）=3，∴g（x）_max=3，∴a＞3．
若命題q是真命題：函數(shù)f（x）=x²-2ax+3a是區(qū)間（-∞，1]上的減函數(shù)，則1≤a．
若命題“p或q”是真命題，“p且q”是假命題，
∴命題p與q必然一真一假．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞3}\\{a＜1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a≤3}\\{a≥1}\end{array}\right.$，
解得a∈∅或1≤a≤3．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，3]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡(jiǎn)易邏輯的判定方法、利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．