Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{x}{lnx}$-ax．
（1）若函數(shù)f（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的最小值；
（2）若存在x₁，x₂∈[e，e²]，使f（x₁）≤f′（x₂）+a成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知得f（x）的定義域?yàn)椋?，1）∪（1，+∞），f′（x）=-a+$\frac{lnx-1}{（lnx）^{2}}$在（1，+∞）上恒成立，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的最大值；
（2）命題“若存在x₁，x₂∈[e，e²]，使f（x₁）≤f′（x₂）+a成立”，等價(jià)于“當(dāng)x∈[e，e²]時(shí)，有f（x）_min≤f′（x）_max+a”，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)結(jié)合分類討論思想，能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由已知得f（x）的定義域?yàn)椋?，1）∪（1，+∞），
∵f（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，
∴f′（x）=-a+$\frac{lnx-1}{（lnx）^{2}}$≤0在（1，+∞）上恒成立，
-a≤$\frac{1}{（lnx）^{2}}$-$\frac{1}{lnx}$=（$\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
令g（x）=（$\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
故當(dāng)$\frac{1}{lnx}$=$\frac{1}{2}$，即x=e²時(shí)，
g（x）的最小值為-$\frac{1}{4}$，∴-a≤-$\frac{1}{4}$，即a≥$\frac{1}{4}$
∴a的最小值為$\frac{1}{4}$．
（Ⅱ）命題“若存在x₁，x₂∈[e，e²]，使f（x₁）≤f′（x₂）+a成立”，
等價(jià)于“當(dāng)x∈[e，e²]時(shí)，有f（x）_min≤f′（x）_max+a”，
由（Ⅰ）知，當(dāng)x∈[e，e²]時(shí)，lnx∈[1，2]，$\frac{1}{lnx}$∈[$\frac{1}{2}$，1]，
f′（x）=-a+$\frac{lnx-1}{（lnx）^{2}}$=-（$\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$-a，
f′（x）_max+a=$\frac{1}{4}$，
問題等價(jià)于：“當(dāng)x∈[e，e²]時(shí)，有f（x）_min≤$\frac{1}{4}$”，
①當(dāng)-a≤-$\frac{1}{4}$，即a$≥\frac{1}{4}$時(shí)，由（Ⅰ），f（x）在[e，e²]上為減函數(shù)，
則f（x）_min=f（e²）=-ae²+$\frac{{e}^{2}}{2}$≤$\frac{1}{4}$，
∴-a≤$\frac{1}{4{e}^{2}}$-$\frac{1}{2}$，
∴a≥$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4{e}^{2}}$．
②當(dāng)-$\frac{1}{4}$＜-a＜0，即0＜a＜$\frac{1}{4}$時(shí)，∵x∈[e，e²]，∴l(xiāng)nx∈[$\frac{1}{2}$，1]，
∵f′（x）=-a+$\frac{lnx-1}{（lnx）^{2}}$，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知f′（x）在[e，e²]上為增函數(shù)，
∴存在唯一x₀∈（e，e²），使f′（x₀）=0且滿足：
f（x）_min=f（x₀）=-ax₀+$\frac{{x}_{0}}{ln{x}_{0}}$，
要使f（x）_min≤$\frac{1}{4}$，∴-a≤$\frac{1}{4{x}_{0}}$-$\frac{1}{ln{x}_{0}}$＜$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{4}$，
與-$\frac{1}{4}$＜-a＜0矛盾，
∴-$\frac{1}{4}$＜-a＜0不合題意．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4{e}^{2}}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基本知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力及化歸思想、函數(shù)方程思想、分類討論思想的合理運(yùn)用，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．