Question

15．在斜三棱柱ABC-A₁B₁C_l中，側面A₁ACC₁⊥底面ABC，A₁C=CA=AB=a，AA₁=$\sqrt{2}$a，AB⊥AC，D為AA₁的中點．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面ABB₁A_l
（Ⅱ）在側棱BB₁上確定一點E，使得二面角E-A₁C₁一A的大小為$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過線面垂直的判定定理及等腰三角形的性質可得結論；
（Ⅱ）以點C為原點，以CA、CA₁分別為x、z軸建立坐標系，則平面A₁C₁A的一個法向量與平面EA₁C₁的一個法向量的夾角的余弦值的絕對值為$cos\frac{π}{3}$，計算即可．

解答 （Ⅰ）證明：側面A₁ACC₁⊥底面ABC，AB⊥AC，平面A₁ACC₁∩底面ABC=AC，
∴AB⊥平面A₁ACC₁，
又CD?平面A₁ACC₁，∴CD⊥AB，
又∵AC=A₁C，D為AA₁的中點，∴CD⊥AA₁，
∴CD⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）解：已知A₁C⊥平面ABC，如圖所示，
以點C為原點，以CA、CA₁分別為x、z軸建立坐標系，
則有A（a，0，0），B（a，a，0），A₁（0，0，a），B₁（0，a，a），C₁（-a，0，a），
設$\overrightarrow{BE}$=λ$\overrightarrow{B{B}_{1}}$（0≤λ≤1），則點E的坐標為（（1-λ）a，a，λa）．
由題意得平面A₁C₁A的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
設平面EA₁C₁的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（-a，0，0），$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（（1-λ）a，a，（λ-1）a），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}E}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-ax=0}\\{（1-λ）ax+ay+（λ-1）az=0}\end{array}\right.$，
令y=1，則有$\overrightarrow{n}$=（0，1，$\frac{1}{1-λ}$），
∴$cos\frac{π}{3}$=$|\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}|$=$\frac{1}{1×\sqrt{1+（\frac{1}{1-λ}）^{2}}}$，解得λ=1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴當$\overrightarrow{BE}$=（1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）$\overrightarrow{B{B}_{1}}$時，二面角E-A₁C₁一A的大小為$\frac{π}{3}$．

點評 本題考查空間幾何圖形中線面關系的平行或垂直的證明及空間角的計算，考查空間想象能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．