Question

設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若對于一切n∈N⁺，

Sn

S2n

=t（t為非零常數(shù)），則稱數(shù)列{a_n}為“和諧數(shù)列”，t為“和諧比”．
（1）設數(shù)列{b_n}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，證明：數(shù)列{b_n}為“和諧數(shù)列”，并求出“和諧比”；
（2）設正項等比數(shù)列{c_n}的首項為c₁，公比為q（q≠1），若數(shù)列{lgc_n}為“和諧數(shù)列”，試探究c₁與q之間的關系，并說明理由．

Answer 1

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：新定義,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）應用等差數(shù)列的通項和求和公式，即可得到t；
（2）應用等比數(shù)列的通項和等差數(shù)列的通項和求和公式，即可得到t、q和c₁的關系．

解答： （1）證明：b_n=1+（n-1）×2=2n-1，s_n=n+

n

2

（n-1）×2=n²，s_2n=4n²，
∴t=

Sn

S2n

=

1

4

即數(shù)列{b_n}為“和諧數(shù)列”；
（2）∵c_n=c₁q^n-1，lgc_n-lgc_n-1=lgq，
∴{lgc_n}為等差數(shù)列，
∴

Sn

S2n

=

nlgc1+ n(n-1) 2 lgq

2nlgc1+ 2n(2n-1) 2 lgq

=t⇒(lgc1-

1

2

lgq)+

lgq

2

n=t(2lgc1-lgq)+2tnlgq，
∴l(xiāng)gc₁=

1

2

lgq，且4t=1，
∴q=c₁²，t=

1

4

．

點評：本題考查新定義及應用，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項和求和公式，解題的關鍵是對新定義的理解，屬于中檔題．